Правила роботи з завданнями на даному блозі

Доброго дня, вітаю на цій сторінці міні курсу з Фізики
На даний час на блозі буде розміщено перше заняття
Студенту необхідно зареєструватися в Google+ та відіслати в коментарі відповіді на питання
На сторінках блогу розміщено основні теми першої лекції з теорії центру тяжіння
Мета: Донести студентам інформацію про теорію центру тяжіння , засвоїти з ними основні визначення  і питання:
Центр ваги твердого тіла
Координати центрів тяжіння неоднорідних тіл.
Координати центрів тяжіння однорідних тіл.
Способи визначення координат центрів тяжіння.
Центри ваги деяких однорідних тіл

Рекомендована література

1.ПАВЛОВСЬКИЙ М.А.  Теоретична механіка: підручник Київ: Видавничий центр НДЧ КПI ім.Ігоря Сікорського 2012.234 с.
2. Бастун В.М., Григоренко Я.М., Широков В.А. Російсько-українсько-англійський словник з механіки К.: Наукова думка 2009.512 c
3. Маркеев А. П. — Теоретическая механіка підручник  ЧеРо  1999.582 c

Питання на які необхідно дати відповіді

Кожне питання оцінюється в 5 балів

- Що називається центром паралельних сил?

- Як визначаються координати центру паралельних сил?

- Як визначити центр паралельних сил, рівнодіюча яких дорівнює нулю?

- Яким властивістю володіє центр паралельних сил?

- За якими формулами обчислюються координати центру паралельних сил?

- Що називається центром ваги тіла?

Тема 5

Центри ваги деяких однорідних тіл.

1) Центр тяжіння  дуги окружності. Розглянемо дугу АВ радіуса R з центральним кутом. В силу симетрії центр ваги цієї дуги лежить на осі Ox (рис. 10).

                 

        

Знайдемо координату по формулі . Для цього виділимо на дузі АВ елемент ММ завдовжки , положення якого визначається кутом ᵠ. Координата х елемента ММ буде . Підставляючи ці значення х і dl і маючи на увазі, що інтеграл повинен бути поширений на всю довжину дуги, отримаємо:

де L - довжина дуги АВ, рівна R=2a. 

Звідси остаточно нахо¬дім, що центр ваги дуги окружності лежить на її осі симетрії на відстані від центру О,  дорівнюватиме де кут     вимірюється в радіанах.

Тема 4

Способи визначення координат центра ваги.

Виходячи з отриманих вище загальних формул, можна вказати конкретні способи визначення координат центрів ваги тіл.

1.    Симетрія. Якщо однорідне тіло має площину, вісь або центр симетрії (рис.7), то його центр ваги лежить відповідно в площині симетрії, осі симетрії або в центрі симетрії.

2.     Розбиття. Тіло розбивається на кінцеве число частин (рис.8), для кожної з яких положення центра ваги і площа відомі.

Тема 3

Тема 2

Коордінати центрів тяжіння однорідного тіла.

Розглянемо тверде тіло вагою P і обсягом V в системі координат Oxyz, де осі x і y пов'язані з поверхнею землі, а вісь z спрямована в зеніт.

Якщо розбити тіло на елементарні частини обсягом ΔVi, то на кожну його частину буде діяти сила тяжіння ΔPi, спрямована до центру Землі. Припустимо, що розміри тіла значно менше розмірів Землі, тоді систему сил, прикладених до елементарних частин тіла можна вважати не сходиться, а паралельної (рис.3), і до неї застосовні всі висновки попередньої глави.

Визначення. Центром ваги твердого тіла називається центр паралельних сил тяжкості елементарних частин цього тіла.

Нагадаємо, що питому вагу елементарної частини тіла називається відношення її ваги ΔPi до обсягу ΔVi: γi = ΔPi / ΔVi. Для однорідного тіла ця величина є постійною: γi = γ = P / V.

Підставляючи в (2) ΔPi = γi ∙ ΔVi замість Pi, враховуючи останнє зауваження і скорочуючи чисельник і знаменник на g, отримаємо вирази координат центра ваги однорідного тіла:

xc = (ΣΔV_i ∙ x_i) / (ΣΔV_i);

yc = (ΣΔV_i ∙ y_i) / (ΣΔV_i); (3)

zc = (ΣΔV_i ∙ z_i) / (ΣΔV_i).

При визначенні центру ваги корисні кілька теорем.

1) Якщо однорідне тіло має площину симетрії, то центр ваги його знаходиться в цій площині.

Якщо осі х і у розташувати в цій площині симетрії, то для кожної точки з координатами можна відшукати точку з координатами. І координата по (3), буде дорівнює нулю, тому що в сумі всі члени мають протилежні знаки, попарно знищуються. Значить центр ваги розташований в площині симетрії.

2) Якщо однорідне тіло має вісь симетрії, то центр ваги тіла знаходиться на цій осі.

Дійсно, в цьому випадку, якщо вісь z провести по осі симетрії, для кожної точки з координатами можна відшукати точку з координатами і координати і, обчислені за формулами (3), виявляться рівними нулю.

Аналогічно доводиться і третя теорема.

3) Якщо однорідне тіло має центр симетрії, то центр ваги тіла знаходиться в цій точці.

Тема 1

1.     Приведення паралельних сил.

Після того як було розглянуто приведення до центру плоскої системи і довільної просторової системи сил, ми знову повертаємося до розгляду окремого випадку системи паралельних сил.

Приведення двох паралельних сил.

В ході розгляду такої системи сил можливі три таких ситуаціях приведення.

1. Система двох колінеарних сил. Розглянемо систему двох паралельних і направлених в одну сторону сил P і Q, прикладених в точках А і В. Будемо вважати, що сили перпендикулярні до цього відрізка (рис.1, а).

Виберемо в якості центру приведення точку С, яка належить відрізку АВ і задовольняє умові:

АС / СВ = Q / P.                                                                      (1)

Головний вектор системи RC = P + Q по модулю дорівнює сумі цих сил: RC = P + Q.

Головний момент щодо центру С з урахуванням (1) дорівнює нулю: MC = P ∙ АС - Q ∙ СВ = 0.

Таким чином, в результаті приведення ми отримали: RC ≠ 0, MC = 0. Це означає, що головний вектор еквівалентний рівнодіючому, що проходить через центр приведення, тобто:

Рівнодіюча колінеарних сил дорівнює по модулю їх сумі, а її лінія дії ділить відрізок, що з'єднує точки їх застосування, обернено пропорційно модулів цих сил внутрішнім чином.

Відзначимо, що положення точки С не зміниться, якщо сили Р і Q повернути на кут α. Точка С, що володіє такою властивістю називається центром паралельних сил.

2. Система двох анти колінеарних і не рівних по модулю сил. Нехай сили P і Q, прикладені в точках А і В, паралельні, спрямовані в протилежні сторони і по модулю не рівні (рис.1, б).

Виберемо в якості центру приведення точку С, яка задовольняє як і раніше співвідношенню (1) і що лежить на тій же прямій, але за межами відрізка АВ.

Головний вектор цієї системи RC = P + Q по модулю тепер буде дорівнює різниці модулів векторів: RC = Q - P.

Головний момент щодо центру З як і раніше дорівнює нулю: MC = P ∙ АС - Q ∙ СВ = 0, тому

Рівнодіюча анти колінеарних і не рівних по модулю сил дорівнює їх різниці, спрямована в бік більшої сили, а її лінія дії ділить відрізок, що з'єднує точки їх застосування, обернено пропорційно модулів цих сил зовнішнім чином.

                            

Правила роботи з завданнями на даному блозі

Доброго дня, вітаю на цій сторінці міні курсу з Фізики
На даний час на блозі буду розміщено перше заняття 

Мета: Донести студентам інформацію про теорію центру тяжіння , засвоїти з ними основні визначення  і питання:

• Центр ваги твердого тіла

• Координати центрів тяжіння неоднорідних тіл.

• Координати центрів тяжіння однорідних тіл.

• Способи визначення координат центрів тяжіння.

• Центри ваги деяких однорідних тіл