Тема 2

Коордінати центрів тяжіння однорідного тіла.

Розглянемо тверде тіло вагою P і обсягом V в системі координат Oxyz, де осі x і y пов'язані з поверхнею землі, а вісь z спрямована в зеніт.

Якщо розбити тіло на елементарні частини обсягом ΔVi, то на кожну його частину буде діяти сила тяжіння ΔPi, спрямована до центру Землі. Припустимо, що розміри тіла значно менше розмірів Землі, тоді систему сил, прикладених до елементарних частин тіла можна вважати не сходиться, а паралельної (рис.3), і до неї застосовні всі висновки попередньої глави.

Визначення. Центром ваги твердого тіла називається центр паралельних сил тяжкості елементарних частин цього тіла.

Нагадаємо, що питому вагу елементарної частини тіла називається відношення її ваги ΔPi до обсягу ΔVi: γi = ΔPi / ΔVi. Для однорідного тіла ця величина є постійною: γi = γ = P / V.

Підставляючи в (2) ΔPi = γi ∙ ΔVi замість Pi, враховуючи останнє зауваження і скорочуючи чисельник і знаменник на g, отримаємо вирази координат центра ваги однорідного тіла:

xc = (ΣΔV_i ∙ x_i) / (ΣΔV_i);

yc = (ΣΔV_i ∙ y_i) / (ΣΔV_i); (3)

zc = (ΣΔV_i ∙ z_i) / (ΣΔV_i).

При визначенні центру ваги корисні кілька теорем.

1) Якщо однорідне тіло має площину симетрії, то центр ваги його знаходиться в цій площині.

Якщо осі х і у розташувати в цій площині симетрії, то для кожної точки з координатами можна відшукати точку з координатами. І координата по (3), буде дорівнює нулю, тому що в сумі всі члени мають протилежні знаки, попарно знищуються. Значить центр ваги розташований в площині симетрії.

2) Якщо однорідне тіло має вісь симетрії, то центр ваги тіла знаходиться на цій осі.

Дійсно, в цьому випадку, якщо вісь z провести по осі симетрії, для кожної точки з координатами можна відшукати точку з координатами і координати і, обчислені за формулами (3), виявляться рівними нулю.

Аналогічно доводиться і третя теорема.

3) Якщо однорідне тіло має центр симетрії, то центр ваги тіла знаходиться в цій точці.